Persamaan nilai mutlak satu variabel

A. Konsep nilai mutlak

Nilai mutlak bilangan 3 di tulis |3| adalah 3 dan nilai mutlak bilangan -3 di tulis |-3| adalah 3. Berapa pun besar atau kecil bilangan tersebut nilai mutlaknya tidak pernah bernilai negatif.

1. Konsep nilai mutlak suatu bilangan
Nilai mutlak bilangan x di notasikan dengan |X| (di baca "nilai mutlak dari x"), di definisikan senagai berikut,

|x| = jarak dari titik nol pada garis bilangan

Jarak -3 dari 0 adalah 3 sehingga |-3| = 3. Jaraka 3 dari 0 adalah 3 sehingga |3| = 3.

2. Sifat sifat nilai mutlak

a. |-x|=|x|

b. |x|=√x²

c. |x|²=|-x²|=x²

d. Untuk sembarang x,y ∈ bilangan real berlaku sebagai berikut.

1. |x-y| = |y-x|

2. |xy| = |x||y|

3. |x/y| = |x/y|, y ≠ 0

4. |x+y|≤ |x| + |y|

5.|x|-|y|≤|x -y|

3. fungsi nilai mutlak

$f(x)=|x|$

juga didefinisikan sebagai

$f(x)=|x|=\begin{cases}x, & x\geq 0\\ -x, & x < 0\end{cases}$

Fungsi nilai mutlak memiliki daerah asal himpunan bilangan riil, dan daerah hasilnya adalah himpunan bilangan riil positif. Untuk menggambar grafik fungsi nilai mutlak, kita harus mengubah bentuk aturan fungsi nilai mutlak tersebut sehingga diperoleh suatu fungsi dengan banyak persamaan, kemudian kita selesaikan masing-maisng persamaan tersebut sesuai aturan yang berlaku.

Grafik fungsi dapat di gambarkan dengan cara menggambarkan grafik fungsi di dalam tanda mutlak, lalu mencerminkan grafik fungsi yang berada di bawah sumbu x.

Grafik fungsi contoh nya adalah seperti f(x) = |2x+1| dapat di gambarkan dengan cara dengan menggambarkan grafik lurus y = 2x + 1 terlebih dahulu dengan bagian garis di bawah sumbu X di gambar putus-putus. Kemudian, garis putus-putus tersebut di ceminkan terhadap sumbu x.

B. Persamaan nilai mutlak

Mari kita mempelajari persamaan nilai mutlak dan cara menyelesaikannya.

1. Konsep persamaan nilai mutlak

Persamaan nilai mutlak adalah persamaan yang memuat tanda mutlak dan variabelnya berada di dalam tanda nilai mutlak.

Berikut beberapa bentuk persamaan nilai mutlak.

a. |x - 2| = 3

b. 2|x| - 6 =0

c. |x - 2| = |3 - x|

d. |2x - 2| = -4 + 3

e. |x - 1|² - |x - 1| - 6 =0

2. Bentuk umum persamaan nilai mutlak

Untuk f(x) dan g(x) fungsi dalam variabel x

| f(x) | = c dengan syarat c ≥ 0

|f(x)|= |g(x)|

|f(x)|= g(x) dengan syarat g (x) ≥ 0

3. Bentuk penyelesaian persamaan nilai mutlak

Penyelesaian persamaan yang memuat nilai mutlak adalah bilangan-bilangan pengganti dari variabel yang membuat persamaan menjadi pernyataan bernilai benar.

Contoh :

Penyelesaian persamaan |x - 2|= 3 adalah 5 dan -1 karena pernyataan |5 - 2|= 3 bernilai benar dan pernyataan |-1 - 2|= 3 bernilai benar.

4. Menentukan penyelesaian persamaan nilai mutlak

a. Menggunakan defiinisi nilai mutlak sebagai jarak

Persamaan nilai mutlak dapat di selesaikan menggunakan definisi nilai mutlak sebagai jarak, kalo di bagian A tadi yang dipelajari contohnya :

|3|=|3 - 0|= jarak bilangan 3 dari 0 = 3

Sekarang kita menggunakan analogi yang sama di peroleh :

|3 - 2|= jarak bilangan 3 dari 2 = 1

Persamaan |x - 2| = 3 dapat di terjemahkan menjadi jarak bilangan x dari 2 adalah 3.

b. Menggunakan definisi nilai mutlak

Persamaan nilai mutlak |ax + |=c dapat di selesaikan dengan menyelesaikan persamaan ax + b = c atau ax + b = -c.

Persamaan |x - 2|=3